[전자기학 / 1. 벡터 및 좌표계] - 3 직교 좌표계(2) (Orthogonal coordinate system)

* 참고한 책 : Introduction to Engineering Electro-magnetics (Yeon Ho Lee 이연호 / Springer) *

*생략한 부분이 많은 글입니다. 책과 같이 보면 좋을 것 같습니다.*

1. 좌표계 사이의 관계

이전 글에서 3개의 직교 좌표계, 데카르트, 원통, 구면 좌표계에 대해서 알아 보았습니다. 

 

하나의 좌표계만 이용해서 문제를 풀 수 있다면 좋겠지만,

대부분의 어려운 문제들은, 좌표계를 서로 변환해서 풀라고 합니다.

 

그래서, 우리는 각 좌표계의 벡터 성분을 바꾸는 법을 익혀야 합니다.

 

먼저, 가정을 해보겠습니다.

Cartesian 좌표계에 \(\boldsymbol{A}\) 벡터가 있습니다. 

$$ \boldsymbol{A}=A_x \, \boldsymbol{a}_{x}+A_y \, \boldsymbol{a}_{y}+A_z \, \boldsymbol{a}_{z} $$

 

이 벡터를 다른 좌표계로, 원통 좌표계로 변환하려면 어떻게 해야 할까요?

 

정답은, 해당 벡터를 바꾸고자 하는 좌표계의 방향벡터와 내적한 스칼라와,

해당 벡터의 좌표계에서 방향 벡터의 스칼라 성분과 곱해준 값이,

바꾸고자 하는 좌표계의 방향벡터의 성분이 되는 것입니다.

 

수식으로 나타내면,

$$\boldsymbol{A}=(A_x \boldsymbol{a}_{x} \cdot \boldsymbol{a}_{\rho}+A_y \boldsymbol{a}_{y} \cdot \boldsymbol{a}_{\rho})\boldsymbol{a}_{\rho}+(A_x \boldsymbol{a}_{x} \cdot \boldsymbol{a}_{\phi}+A_y \boldsymbol{a}_{y} \cdot \boldsymbol{a}_{\phi})\boldsymbol{a}_{\phi}+A_z\boldsymbol{a}_{z}$$

 

이렇게 됩니다.

즉, $$A_\rho=\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{a}_{\rho} , A_\phi=\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{a}_{\phi} , A_z=\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{a}_{z}$$

가 되는 것입니다.

 

다른 좌표계가 나와도, 위와 같은 방법으로 변환 시키면, 충분히 잘 해결할 수 있습니다.

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여기까지, 직교 좌표계 였습니다.