* 참고한 책 : Advanced Engineering Mathmetics (Erwin Kreyszig) *
*생략한 부분이 많은 글입니다. 책과 같이 보면 좋을 것 같습니다.*
1. ODE / 상미분방정식
ODE는 Ordinary Differential Equation의 약자입니다.
독립 변수가 1개인 미분방정식을 ODE라고 부릅니다.
ex) \(y=cos x\)
그렇다면, First order은 무엇일까요?
first는 1차, order은 계를 뜻합니다.
미분 방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 계라고 부릅니다.
즉, 1계 상미분방정식은 \(y'\)이 포함된 미분방정식입니다.
나중에 다룰 2계, 3계.. 등등 많습니다.
2. Euler Method / 오일러 방법
\(x\)를 일정한 범위(\(h\)) 만큼 잘라서 \(y\) 값을 근사하는 방법입니다.
예를 들면, \(y' = y+x\) 라는 식이 있습니다.
이 때, \(y\) 값을 구하고 싶다고 가정해 보겠습니다.
\(x_0, y_0\) 이 초기 값으로 주어져 있다면, 우리는 오일러 방법을 통해 근사값을 얻어낼 수 있습니다.
$$y_n=y_{n-1}+h\, f(x_{n-1},y_{n-1})$$
위의 수식이 오일러 방법입니다.
여기서 의문이 들 수있습니다. 분명 \(y' = y+x\) 식만 주어 졌는데, \(f()\) 식은 어디서 나온 거지?
이건 양함수(Explicit Form)의 형태로 보았을 때, \(y'=f(x,y)\) 형식의 식이 나옵니다.
따라서, \(y' = y+x\) 식이 \(y'=f(x,y)\) 식과 같은 것입니다.
오일러 법칙을 이용해 근사시킨 값과, 실제 값을 비교해 보면, 차이가 발생할 수 밖에 없습니다.
여기서 발생한 차이를 Error라고 부르기로 했습니다.
위의 오일러 방법을 이용해서 표로 정리하면, 아래 표 형식으로 정리 시킬 수 있습니다.
| \(n\) | \(x_n\) | \(y_n\) | \(y(x_n)\) | \(Error\) |
| 순서를 나타내는 열 | \(x_n=x_{n-1}+h\) | \(y_n=y_{n-1}+h\, f(x_{n-1},y_{n-1})\) 근사 \(y\)값 |
실제 \(y\) 값 | \(y(x_n)\)-\(y_n\) 값 |
3. Seperable ODE / 변수 분리형 방정식
\(y, x\) 를 각각 양변으로 몰수있는 ODE를 뜻합니다.
먼저, 문제가 이런 형태로 주어져 있습니다.
$$g(y)y'=f(x)$$
\(y'=\frac{dy}{dx}\)를 이용합니다.
$$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$$
\(dx, dy\)를 양변으로 보내고, 적분 시킵니다.
$$\int g(y)dy = \int f(x)dx+C$$
*non-seperable ODE 경우 중 \(y'=f(\frac{y}{x})\) 경우
\(u=\frac{y}{x}\) 치환 합니다.
이 식을 미분하면, \(y'=u'x+u\) 가 도출됩니다.
이 식을 원래 식에 대입하면, Seperable ODE 형식으로 식이 도출됩니다.
4. Exact ODEs, Integrating Factors / 완전상미분방정식, 적분인자
$$M(x,y)dx + N(x,y)dy =0$$ 형식의 수식을 푸는 법을 알아 보겠습니다.
1. Exact 한지 Not exact한지 확인합니다.
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
위 수식을 풀었을 때 맞다면, exact 한 것이고,
아니면, not exact 한 것입니다.
2-1. Exact 한 경우.
$$u=\int M(x,y)dx + k(y)$$
이 수식을 \(y\)에 관해 미분하고, \(N\)과 비교하여, \(k(y)\)를 구합니다.
$$u=\int N(x,y)dx + l(x)$$
아니면, 이 수식을 \(x\)에 관해 미분하고, \(M\)과 비교하여, \(l(x)\)를 구할 수 있습니다.
2-2. Not exact 인 경우.
처음 형식의 수식을 아래 수식으로 바꿉니다. (알파벳만 바꾼겁니다. exact한 수식이랑 구분하기 위해..)
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
Integrating factor을 찾아서 양변에 곱하면, Exact form으로 바꿀 수 있습니다.
Integrating factor을 x에 관해 찾으면,
$$R=\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})$$
$$Integrating\, factor\, = \, F=e^{(\int R(x)dx)}$$
y에 관해 찾으면,
$$R*=\frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$$
$$Integrating \, factor\, =\, F^*=e^{(\int R^*(x)dx)}$$
찾은 적분인자를 \(P, Q\)에 곱하면, \(M, N\) 식으로 바꿀 수 있습니다. Exact 하기 때문이죠.
2-1 로 다시 돌아가서 풀면 됩니다.
5. Linear ODEs / 선형상미분방정식
선형상미분방정식의 형식은 다음과 같습니다.
$$y'+P(x)y=r(x)$$
푸는 방법은 다음과 같습니다.
$$h=\int P(x)dx$$
$$y(x)=e^{-h}(\int e^h r(x)dx +C)$$
*\(y'+P(x)y =g(x)y^a\) 형식일 경우 (Bernoulli Equation/ 베르누이 방정식)
$$u(x)=[y(x)]^{1-a} \, \, 미분 하면,\, \, u'=(1-a)y^{-a} y' \, \, y'에 원래식 대입하면,$$
$$u'+(1-a)Pu=(1-a)g 형태가 됩니다.$$
6. 팁
문제를 풀다 보면, 생각 보다 쉽다는 것을 느낄 수 있으실 겁니다.
여기까지 입니다.