* 참고한 책 : Introduction to Engineering Electro-magnetics (Yeon Ho Lee 이연호 / Springer) *
*생략한 부분이 많은 글입니다. 책과 같이 보면 좋을 것 같습니다.*
1. 기울기 / Gradient
Gradient는 스칼라장에서 가장 큰 기울기 벡터를 뜻합니다.
/**그림**/
수식으로 나타내면,
$$\frac{dv}{dl}의 벡터 = \frac{dv}{dn}\boldsymbol{a}_n=\nabla V = Grad\, V$$
각 좌표계 별로 Gradient를 구하는 식이 다릅니다.
$$Cartesian\quad \nabla =\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{a}_x+\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{a}_y+\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{a}_z$$
$$Cylindrical\quad \nabla =\frac{\partial}{\partial \rho}\boldsymbol{a}_\rho+\frac{\partial}{\rho \partial \phi}\boldsymbol{a}_\phi+\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{a}_z$$
$$Spherical\quad \nabla =\frac{\partial}{\partial r}\boldsymbol{a}_r+\frac{\partial}{r \partial \theta}\boldsymbol{a}_\theta+\frac{\partial}{rsin\theta\partial \phi}\boldsymbol{a}_\phi$$
2. 발산 / Divergence
Divergence는 벡터장에서 단위 볼륨당 작은 면적으로 부터 빠져 나오는 flux를 다 더해서 volume을 0으로 보낸 것입니다.
$$div\, \boldsymbol{A}=\nabla \cdot V (내적)=\displaystyle \lim_{\Delta V \to 0}\frac{\oint_{s}^{}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}}{\Delta V} $$
처음 보는 식이 나왔습니다. \(\oint_{s}^{}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}\) 이 낯섭니다.
이 수식이 뜻하는 것은, closed surface 에서 빠져나오거나 들어가는 flux의 합을 뜻합니다.
*Divergence theorem / 발산 정리
Divergence A는 단위 볼륨당 flux를 뜻하는 것이라고 했습니다.
그러면, Divergence A를 볼륨에 관하여 적분을 해준다면,
그 값은 \(\oint_{s}^{}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}\)이 결과 값과 같을 것입니다.
따라서, 밑의 수식이 성립합니다.
$$\oint_{s}^{}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{v}^{}\nabla\cdot\boldsymbol{A}dv$$
각 좌표계 별로 Divergence를 구하는 식은 다음과 같습니다.
$$Cartesian\quad \nabla \cdot \boldsymbol{D} =\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$$
$$Cylindrical\quad \nabla\cdot \boldsymbol{D}=\frac{1}{\rho}frac{\partial(\rho D_\rho)}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_\phi}{\partial \phi}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$$
$$Spherical\quad \nabla\cdot \boldsymbol{D}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 D_r)}{\partial r}+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial (D_\theta sin\theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial D\phi}{\partial \phi}$$
3. 회전 / Curl
벡터장에서 contour C의 circulation이 max일 때의 벡터를 뜻합니다.
$$Curl \quad \boldsymbol{A} = \nabla\times\boldsymbol{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\begin{vmatrix}
h_1\boldsymbol{a_{u_{1}}}& h_2\boldsymbol{a_{u_{2}}} & h_3\boldsymbol{a_{u_{3}}} \\
\frac{\partial}{\partial u_1}& \frac{\partial}{\partial u_2} & \frac{\partial}{\partial u_3} \\
h_1 A_{u_{1}}&h_2 A_{u_{2}} & h_3 A_{u_{3}} \\
\end{vmatrix}$$
위 수식에서 \(u_1,u_2,u_3\)는 각 좌표계의 성분을 뜻하고,
\(h\)는 metric coeffiecient입니다.
cartesian 에서 h1, h2, h3는 모두 1입니다.
cylindrical 에서 h2만 \(\rho\)이고, 나머지는 1입니다.
spherical 에서 h1은 1, h2는 \(r\), h3는 \(rsin\theta\)입니다.
*Stokes theorem /스토크스의 정리
$$\int_{s}^{}\nabla\times\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_c \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}$$
자세한 설명은 잘 모르겠습니다. 필자도 그냥 그렇구나 하고 넘어갔습니다.
4. 팁
수 많은 공식들이 나열되어 있지만, 공식을 외우는 것은 중요치 않습니다.
만약 담당 교수님께서 시험볼 때 공식을 외워오라고 하시는 분은 악독하신 분입니다.
그러면 외워가야 겠지요. ㅎㅎ
필자도 각 정리가 뭘 의미하는 지는 잘 모르겠습니다. 그냥 식에 대입해 보며 그렇구나 ~ 하고 넘어 갔습니다.
아마 이 것들을 통해 문제를 푸는 연습을 할 때는 좌표계의 변환, 각 좌표계를 이용한 적분이 더 중요할 것 같습니다.
여기 까지가 벡터 미적분이었습니다. 감사합니다.
